1 Úvod
Co je to číselná soustava? Určitý způsob reprezentace čísel.
Celé lidstvo dnes používá desítkovou číselnou soustavu. To je soustava se základem[1]
10 – má 10 číslic. Jedničku až devítku a k tomu nulu. Jedná se o tzv. poziční číselnou soustavu. Vlastností
pozičních soustav je, číslo v nich zapsané lze vyjádřit součtem mocnin základu
dané soustavy vynásobených příslušnými platnými číslicemi (Wikipedia, 2011).
Jinými slovy pořadí číslice udává její řád.
Proč máme právě deset číslic? Pravděpodobně podle počtu
prstů na rukou. Deset číslic měli již staří Egypťané (Wikipedia, 2011). Oproti
tomu první číselné soustavy vynalezené v Sumeru a Akkadu měly šedesát
číslic (Roaf, 1998), do dneška zachovaný římský způsob zápisu čísel je ještě
zcela jiný[2]
a existovaly další číselné soustavy. V dnešní době se kromě desítkové
soustavy používá ještě soustava dvojková (interně v počítačích) a šestnáctková
(v oblasti informatiky).
2 Desítková soustava s jiným stupněm
Desítková soustava se však nepoužívá ve všech případech podle
svého pozičního zápisu. Například při počítání minut používáme sice stále
desítkovou soustavu, využíváme deseti číslic, ale pořadí číslice neudává její
řád v rámci počítání času. Po dosažení desáté minuty nenastává vyšší
časová jednotka – hodina. Té dosáhneme až u minuty šedesáté.
Matematicky je sice vše správně, stále používáme desítkovou
soustavu, ale k dosažení vyššího řádu potřebujeme jiný počet číslic, než
kolik je základ číselné soustavy. Nazvěme tento potřebný počet číslic stupněm číselné soustavy.
V případě počítání minut používáme tedy desítkovou soustavu se stupněm
šedesát, u hodin desítkovou soustavu se stupněm dvanáct atd.
Ukažme si, kde všude operujeme s desítkovou soustavou o
jiném stupni, než je deset.
·
stupeň 60 – počet vteřin v minutě, počet minut v hodině
·
stupeň 24 – počet hodin za den
·
stupeň 12 – počet hodin v polovině dne
(ručičkové hodinky), počet měsíců v roce, měření mimo soustavu SI (stopy a
palce atd.)
·
stupeň 4 – sever, jih, západ, východ nebo nahoru,
dolů, doleva, doprava atd.
·
stupeň 360 – měření úhlů ve stupních
·
stupeň 400 – měření úhlů v gradech
·
stupeň 7 – počet dnů v týdnu
Problémem je, že pokud základ číselné soustavy a její stupeň
nejsou totožné, pak jsou výpočty značně obtížné. Už jen počítat s tím, že
půl hodiny není 50 minut, ale 30. Že pravý úhel není 500, ale 900.
To vše znamená spoustu kalkulací a možných chyb.
Problém nasává i v tom, že nejsou unifikovány míry
v celém světě. Čísla bot máme i u nás v centimetrech a palcích, když
se dostaneme do Velké Británie nebo USA, musíme přijít z našich metrů a
kil na stopy a libry. A při počítání v těchto nemetrických jednotkách
využíváme desítkovou soustavu, ale o stupni dvanáct. Číselné operace jsou tedy
mnohem snazší pro nás, kteří využíváme metrický systém a soustavy SI.
Proč tedy vůbec tyto číselné soustavy s nevhodnými
stupni existují? Důvody jsou historické. Počítání po šedesáti (neboli po kopách) nám zbylo od starých Sumerů
(byť ti přímo využívali šedesátkovou soustavu), podobně počítání po dvanácti
(tedy po tuctech).
3 Hledání ideální číselné soustavy
Zdálo by se tedy, že řešení je nasnadě. Změnit v těch
oblastech, kde se používají výpočty se stupněm jiným než deset. Tedy upravit
počítání času, úhlů a donutit angloamerický svět, aby se vzdal neefektivních
jednotek.
Tuto myšlenku měli již kdysi strůjci Velké francouzské
revoluce. Rozhodli se, že desítku zobecní na počítání všeho (Wikipedie, 2011).
Zrušili tedy téměř všechny jednotky, kde se používal jiný stupeň než deset a nahradili
je jednotkami novými, nyní již pěkně ladícími s desítkovou soustavou. V mnohém
uspěli. Od té doby se v naší části světa přestaly používat stopy, palce a
podobné jednotky (mající vesměs stupeň dvanáct) – položili tak základy systému
SI. V některých ohledech byl však jejich pokus neúspěšný. Neujal se například
deset dní trvající týden. Ani revolucionáři však nezkoušeli zavést desítkovou
soustavu o stupni deset do počítání času a úhlů.
Důvodem, proč se desítková soustava se stupněm deset
nepoužívá vždy a všude je jednoduchá skutečnost, že desítka není zrovna vhodné
číslo. A to kvůli své nedělitelnosti čtyřmi. Nemožnost dělit desítku třemi a
šesti je nevýhoda, ale nedělitelnost čtyřmi je skutečně klíčová. Čtyřka je
totiž základ pro všechny cyklické jevy, nebo jevy znázorněné v kruhu. Když
si představíme kruh a chceme jej rozdělit, automaticky nás napadne rozdělení na
čtyři části. Ať je to sever, jih, západ, východ. Nebo nahoru, dolů, dopředu,
dozadu. Vždy chceme vědět, kde je polovina, kde čtvrtina a kde tři čtvrtiny.
Naopak dělitelnost pěti, kterou desítková soustava umožňuje, se prakticky
nevyužívá.
Co tedy zvolit jinou číselnou soustavu? Je jasné, že musí
mít stejný stupeň jako je její základ. Zároveň by měla být dělitelná čtyřmi. A
číslic by nemělo být příliš mnoho. A ihned se nabízí soustava dvanáctková. Dvanáctka
je číslo podobně velké jako desítka. Oproti ní však splňuje zmíněnou
dělitelnost čtyřmi. Navíc je dělitelná i třemi a šesti, což může mít také své
výhody. Jedinou nevýhodou je tedy nedělitelnost pěti, kterou však můžeme
bezstarostně oželet.
4 Výhody dvanáctkové soustavy
Máme tedy ideální číselnou soustavu
– dvanáctkovou, pochopitelně se stupněm dvanáct. Počítání s ní bude stejně
jednoduché jako u desítkové soustavy o stupni deset. V nové soustavě
nebude 2 x 12 rovno 24, ale 20. Obdobně 12 x 12 nebude 144, ale 120.
Číslo dvanáct se však nebude zapisovat jako dosud, ale bude
se psát jako 10. Udává totiž, že obsahuje 1 x číslo dvanáct a žádnou další
číslici. Je třeba navíc přidat nové pojmy a znaky pro číslice odpovídající
deseti a jedenácti, to však zatím nechme být. Aby byl text přehlednější, bude
dále v článku místo pojmu dvanáct používat slovo tucet. Nová soustava bude
tedy tuctová o stupni tucet.
Tabulka 1: Zápis
v desítkové a tuctové soustavě
Číslo v
desítkové soustavě
|
Číslo
v tuctové soustavě
|
0
|
0
|
1 až 9
|
1 až 9
|
10
|
nový symbol
|
11
|
nový symbol
|
12
|
10
|
13
|
11
|
20
|
18
|
24
|
20
|
Na samotné existenci slova tucet vidíme, že tuctová soustava
je už historicky velice přirozená. Do Velké francouzské revoluce bylo zvykem
počítat v tuctech zcela běžně a proto i tento pojem zůstal zakotven
v jazyce[3]. A
není to jen v češtině. Naopak – v češtině je názvosloví čísel
poplatné desítkové soustavě. Ale v jiných jazycích je zřetelné pojmenování
číslovek do dvanáctky a až od třinácti přichází pojmenovávání čísel pomocí koncovek.
Např. v angličtině 11 = eleven, 12 =
twelve, ale 13 je už thirteen, 14 fourteen atd. Stejně tak v němčině 11 =
elf, 12 = zwölf, ale 13 = dreizehn atd[4].
Počítání v tuctech by byl tedy jen návrat k původnímu způsobu. A
velká úleva pro země, kde se nepoužívá soustava SI.
Častou námitkou bývá,
že v tuctové soustavě nejde počítat na prstech. Není to však pravda. Když se
lidé ve starověku a středověku učili počítat, používali při tom také prsty. Ale
místo celých prstů používali kůstky na prstech kromě palce. Na každém ze čtyř
prstů jsou tři kůstky. Tímto způsobem by se opět dnešní školáci mohli učit
počítat.
5 Tuctová soustava v praxi
Jak by tedy používání tuctové
soustavy vypadalo v praxi? Podívejme se nejprve na počítání úhlů. Kruh má tedy
tucet stupňů. Dělí se na kvadranty po třech stupních. Můžeme také označit tucet
stupňů jako sever, tři stupně jako východ, šest jako jih a devět jako západ.
Díky tomuto systému bude také možné zrušit počítání v gradech, které se používá
v inženýrské praxi a kruh má zde 400 gradů (místo 360 stupňů). Ostřelovači už
také nebudou muset oznamovat, že cíl je na šesti hodinách, ale mohou používat
klasický systém měření úhlů.
Graf 1: Tuctová
soustava při počítání času a úhlů
Zcela obdobně bude vypadat systém s měřením času. Řekněme,
že základní jednotku času budeme stále nazývat hodinou. Den má tucet hodin,
takže jedna nová hodina bude měřit dvojnásobek současné. Nebude se dále dělit
na minuty a vteřiny, ale na „tuctiny“ hodiny a menší jednotky. Čas budeme
konečně moci zapsat stejně, jako jakoukoliv jinou hodnotu. Tedy když dnes máme
čas 4 hodiny, 9 minut a 6 vteřin[5],
tak po zavedení tuctové soustavy bude tento čas zapsán jako 2,08 hodin.
Menší jednotky musí mít také svoje názvy. Je možné použít
unikátní slova (např. řekněme, že by minuta odpovídala 0,1 hodiny), ale vědecké
názvy budou obdobné, jako dnes při počítání vzdálenosti a jiných veličin. Tedy
jednu tuctinu hodiny bychom nazvali „decihodinou“. Tento pojem však není
správný, protože v sobě obsahuje slovo deset. Je tedy otázkou nového
názvosloví, jak tyto jednotky nazývat.
Počítání s většími jednotkami než je den (který půjde také
nazvat obdobným pojmem jako „dekahodina“) už bude složitější, protože naráží na
délku roku, která není dělitelná tuctem. Stále však můžeme používat hodnoty
odpovídající tuctovým násobkům hodiny.
Měření ostatních jednotek není třeba podrobně probírat.
Zůstalo by podobné, jako je tomu dnes. Při měření délek by bylo asi snazší
zcela převzít angloamerický systém, zrušit pojem metr a zavést opět po několika
stoletích stopu. Její výhodou je, že se už nyní dělí na tucet menších jednotek
– palců.
6 Závěr
Zavedení tuctové soustavy by razantně zjednodušilo měření
v oblasti času a stupňů, sjednotilo by systém SI a angloamerické způsoby měření
času a hmotnosti. V mnoha ohledech by se jednalo o návrat k systému, který se
používal před zavedením soustavy SI a oceněn by byl právě nejvíce v zemích,
které tuto soustavu dosud nepřijaly.
Odkazy
ROAF, Michael. Svět
Mezopotámie. Praha: Knižní klub, 1998. 240 s. ISBN 80-7176-755-7
Wikipedia [online]. 2011. Dostupné z WWW: <http://cs.wikipedia.org/wiki/Matematika_starov%C4%9Bk%C3%A9ho_Egypta>
Wikipedia [online]. 2011. Dostupné z WWW: <http://cs.wikipedia.org/wiki/%C4%8C%C3%ADseln%C3%A1_soustava>
Wikipedia [online]. 2011. Dostupné z WWW: <http://cs.wikipedia.org/wiki/Francouzsk%C3%BD_revolu%C4%8Dn%C3%AD_kalend%C3%A1%C5%99>
[1]
Základ, neboli báze se označuje písmenem r (z anglického radix).
[2]
Římský způsob zápisu číslic nepoužívá poziční systém.
[3] U nás jediný pozůstatek dvanáctkové soustavy
jsou staré katastrální mapy, které se stále ještě používají v menších
obcích. Ty jsou v měřítku 1:2880, což je na dvakrát zmenšená mapa
v měřítku 1:1440 (dvanáct na druhou). S těmito mapami by se při
zavedení dvanáctkové soustavy operovalo velice snadno.
[4] Ve Velké Británii se používá dvanáctková
soustava nejenom u měření vzdáleností a vah, ještě před několika desetiletími
byl také jeden šilink dělen na dvanáct pencí.
[5]
Záměrně jsou zde používána čísla menší než deset, aby nedocházelo
k zmatkům.
